Przestrzeń metryczna

Przestrzeń metryczna – zbiór z wprowadzonym odpowiednikiem pojęcia odległości dla par jego elementów.

[edytuj] Definicja

Niech $X\;$ będzie zbiorem niepustym. Metryką (lub odległością) w zbiorze $X\;$ nazywamy każdą funkcję dwuargumentową $d\colon X \times X \to \mathbb R$ spełniającą następujące trzy warunki (aksjomaty metryki) dla wszystkich $a, b, c \in X$ :

$1.\qquad d(a, b) = 0\;$ wtedy i tylko wtedy gdy $a = b\;$ ,

$2.\qquad d(a, b) = d(b, a)\,$ (warunek symetrii)

$3.\qquad d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(c, b)$ (warunek trójkąta).

Jeśli $d\;$ jest metryką na zbiorze $X\;$ to parę $(X, d)\;$ nazywamy przestrzenią metryczną^[1].

[edytuj] Uwagi

Należy zwrócić uwagę, że niektórzy autorzy dodają warunek, że metryka przyjmuje wartości nieujemne. Wynika on jednak z aksjomatów sformułowanych powyżej:

$0=d(a,a)\leqslant d(a,b)+d(b,a)=2d(b,a)$

a zatem $d(a, b) \geqslant 0$ .

Przestrzeń metryczną należy rozumieć jako uogólnienie przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej). Metryki można określać nie tylko na przestrzeniach euklidesowych, ale również na innych zbiorach (na przykład na zbiorze słów lub funkcji) lub na bardzo abstrakcyjnych przestrzeniach.

Funkcja odległości (metryka) indukuje w przestrzeni metrycznej topologię (której bazą jest rodzina kul otwartych). W tym sensie przestrzenie metryczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych. W analizie matematycznej często topologia rozpatrywanej przestrzeni (euklidesowej lub pewnej powierzchni) stanowi jej najważniejszy aspekt dla danego rozważania (podczas gdy dla innych rozważań w analizie istotne są subtelniejsze własności).

Każda przestrzeń unormowana $(V, \|\cdot\|)$ jest także przestrzenią metryczną z odległością zdefiniowaną przez:

$\,d(x, y) = \|x-y\|,\; x,y \in V$ .

[edytuj] Lipschitzowska równoważność

Niech $(X, d_1), (X, d_2)\;$ będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że metryki $d_1, d_2\;$ są równoważne lipschitzowsko, jeżeli istnieją $\lambda_1, \lambda_2 > 0\;$ , że dla każdego $a, b \in X$ spełniony jest warunek $\lambda_1 d_1(a,b) \leqslant d_2(a,b) \leqslant \lambda_2 d_1(a,b)$ .

Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru $X\;$ jest zbieżny w sensie metryki $d_1\;$ , to jest także zbieżny w sensie metryki $d_2\;$ . W przestrzeni liniowej rzeczywistej, o skończonym wymiarze, wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc topologicznie. Ogólniej, gdy dwie normy Banacha, zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej, są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

[edytuj] Przykłady metryk

[edytuj] Euklidesowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń euklidesowa.

Metryka euklidesowa – dla przypadku jednowymiarowego:

$d_e(x, y) = |y - x|\,$

W przypadku ogólnym, gdy

$x, y \in \mathbb R^n$

$x := (x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$y := (y_1, y_2, \ldots, y_n)$

metryka euklidesowa definiowana jest przez:

$d_e(x, y) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \ldots + (y_n - x_n)^2}$

[edytuj] Miasto

Zielona przekątna — odległość wg metryki euklidesowej (ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe — odległość wg metryki miejskiej (dokładnie 12 j.)

Metryka Manhattan, taksówkowa, miejska, wielkomiejska – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miejska.

Dla $p, q \in \mathbb R^2,\ p := (p_1, p_2),\ q := (q_1, q_2)$ , mamy

$\,d_+(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|$ .

W dowolnym wymiarze skończonym n, to znaczy w $\mathbb{R}^n$ , definiujemy:

$d_+(p, q) = \sum_{k=1}^n |p_k - q_k|$ .

[edytuj] Iniektywna

Metryka nieskończoność, maksimum, iniektywna, Czebyszewa, szachowa – metryka ta w $\mathbb{R}^n$ zdefiniowana jest wzorem

$d_\infty(x, y)\ =\ \max_{k=1}^n\ |x_k - y_k|$ .

Kula w tej metryce jest n-wymiarową kostką.

Analiza przypadków:

dla $n=1\;$ metryki iniektywna, euklidesowa i Manhattan pokrywają się,
dla $n=2\;$ metryki iniektywna i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

[edytuj] Kolejowa

Metryka kolejowa, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu $θ = (0,0)$ lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt $θ$ – zwykła euklidesowa odległość.

Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.

Można ją przedstawić jako

$d_k(x, y) = \begin{cases} d_e(x, y), & \mbox{gdy }x, y\mbox{ i }\theta \mbox{ na jednej prostej} \\ d_e(x, \theta) + d_e(\theta, y), & \mbox{w przeciwnym przypadku} \end{cases}$

[edytuj] Dyskretna

Metryka dyskretna, zerojedynkowa – metryka na dowolnym zbiorze. Odległość między dowolnymi punktami wynosi $0$ , gdy są to te same punkty oraz $1$ w innym przypadku. Przestrzeń metryczną z tą metryką nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną:

$d_d(x, y) = \begin{cases} 0, & \mbox{gdy }x = y \\ 1, & \mbox{gdy }x \ne y \end{cases}$

[edytuj] Rzeka

Odległość w metryce rzeka.

Niech pod słowem "rzeka" kryje się ustalona prosta na płaszczyźnie (zazwyczaj $y = 0\;$ ). Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w bardzo gęstej dżungli, po której poruszać się można jedynie w kierunkach prostopadłych do rzeki oraz po samej rzece (po tych ścieżkach poruszamy się zgodnie z metryką euklidesową na płaszczyźnie). Tak określona odległość nosi nazwę metryki rzeki.

Niżej znajduje się wzór opisujący tę metrykę (por. rysunek)

$d_r(A, B) = \begin{cases} d_e(A, B), & \mbox{gdy A, B na prostej ortogonalnej do rzeki} \\ d_e(A , C_1) + d_e(C_1, C_2) + d_e(C_2, B), & \mbox{w przeciwnym wypadku.} \end{cases}$

[edytuj] Topologia generowana przez metrykę

Każda przestrzeń metryczna $X\;$ jest zarazem przestrzenią topologiczną. Bazę jej topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

$B(x, r) = \{y \in X\colon\; d(x,y) < r\}$ ,

gdzie $x\in X$ oraz $r>0\;$ . Innymi słowy, zbiór $U \subseteq X$ jest otwarty, jeżeli wraz z każdym punktem $x \in U$ zawiera także pewną kulę otwartą $B(x, r)\;$ , której środkiem jest punkt $x\;$ albo, równoważnie, zbiór $U\;$ jest otwarty, jeżeli jest (skończoną lub nieskończoną) sumą kul otwartych. Wyznaczona w ten sposób topologia na zbiorze $X\;$ jest nazywana topologią generowaną przez metrykę' $d\;$ .

Mówimy, że przestrzeń topologiczna $(X,\tau)\;$ jest metryzowalna jeśli istnieje metryka $d\;$ na zbiorze $X\;$ taka, że kule otwarte w tej metryce są bazą topologii $\tau\;$ (czyli gdy topologia $\tau\;$ jest generowana przez pewną metrykę $d\;$ ).

Z punktu widzenia topologii, metryki są narzędziem badania przestrzeni metryzowalnych analogicznym do układu współrzędnych w przestrzeniach euklidesowych.

[edytuj] Własności

Każda przestrzeń metryczna:

spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności
jest parazwarta
jest doskonale normalna
jest Hausdorffa

Niektóre własności topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

[edytuj] Odległość od zbioru

Zobacz więcej w osobnym artykule: metryka Hausdorffa.

Odległością lub odstępem od zbioru $A\;$ nazywa się funkcję

$\delta_A(x) = \inf \left\{d(x, a)\colon a \in A\right\}$

[edytuj] Inne systemy aksjomatów

Znanych jest wiele funkcji odległości spełniających inne zestawy aksjomatów.

[edytuj] Pseudometryka

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń pseudometryczna.

Zastępując w definicji metryki aksjomat 1. aksjomatem

$1^\prime.\qquad d(a, a) = 0\,$

definiujemy nową funkcję – pseudometrykę. Poprzez analogię możemy mówić o parze $(X, d)\;$ jako przestrzeni pseudometrycznej. W przestrzeniach liniowych, pseudometrykę generuje półnorma. Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

[edytuj] Przykład przestrzeni pseudometrycznej

Przestrzeń $\mathcal F(X)$ wszystkich funkcji $f\colon X \to \mathbb R$ z ustalonym punktem $x_0\in X$ . Możemy mówić o pseudometryce danej wzorem:

$d(f, g) = |f(x_0) - g(x_0)|,\; f, g \in \mathcal F(X)$ .

[edytuj] Ultrametryka

Zastępując aksjomat warunku 3. aksjomatem

$3^\prime.\qquad d(a, b)\leq\max\big(d(a, c),d(c, b)\big)$ .

dla wszystkich $a,b,c\,$ funkcję $d\,$ nazywamy ultrametryką.

[edytuj] Quasimetryka

Odległość nie spełniająca aksjomatu 2. (warunku symetrii).

[edytuj] Metryka probabilistyczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: Metryka probabilistyczna.

Funkcja definiująca odległość pomiędzy zmiennymi bądź wektorami losowymi. Funkcja ta nie jest metryką, gdyż nie spełnia aksjomatu 1.

Przypisy

↑ Wacław Sierpiński: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1965.

Belgia