Przekrój zbiorów

Przekrój zbiorów (część wspólna zbiorów) – działanie algebry zbiorów.

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Przykłady
2 Własności
3 Zbiór uniwersalny
4 Zobacz też
5 Przypisy

[edytuj] Definicje

Przekrój zbiorów A i B

Przekrój (inaczej część wspólna lub iloczyn zbiorów) zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które należą również do B. Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez $A\cap B$ . Tak więc:

$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$ .

Przekrój jest zdefiniowany również dla większej ilości zbiorów: przekrój rodziny zbiorów (zwany też przekrojem uogólnionym) definiujemy mianowicie jako zbiór elementów, które należą do każdego ze zbiorów z tej rodziny. Przekrój niepustej rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ jest zdefiniowany przez

$\bigcap {\mathfrak A} = \{x:(\forall A \in \mathfrak A)(x\in A)\}$

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$ (dla niepustego zbioru indeksów I) definiujemy

$\bigcap_{i\in I} A_i = \{a : (\forall i \in I)(a\in A_i)\}.$

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej przekrojów rodzin indeksowanych niż przekrojów zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np $\bigcap_{i\in I}A_i = \bigcap \{ A_i: i\in I\}$ , a użycie zapisu indeksowanego jest często klarowniejsze.

[edytuj] Przykłady

Niech ${\mathbb N}$ będzie zbiorem liczb naturalnych a P niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas ${\mathbb N}\cap P$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn

${\mathbb N}\cap P=\{n\in {\mathbb N}:2$ dzieli

n}

$(0,1)\cap [1,2]=\emptyset$ , ale $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$
$\bigcap\limits_{n\in {\mathbb N}} (1-\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n+1})=\{1\}$
Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek $[\sqrt{2},\sqrt{5})$ . Wówczas

$\bigcap {\mathfrak A}=[\sqrt{2},\sqrt{5}]$ .

[edytuj] Własności

[edytuj] Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A, B, C$ zachodzą następujące równości:

$\bigcap \{ A\} = A =A\cap A$ ,
$\bigcap \{ A, B\} = A \cap B$ .
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (łączność);
$A \cap B = B \cap A$ (przemienność);
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$ oraz $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$ (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego;
$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ (prawo De Morgana).

Ponadto,

$A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cap B = A$ .

[edytuj] Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i:i\in I\}$ , $\{B_i:i\in I\}$ oraz $C_{j,k}:j\in J\ \wedge\ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów $I, J, K$ są niepuste. Niech D będzie zbiorem. Wówczas

$\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)=\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcap\limits_{i\in I} B_i$
$\bigcap\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcap\limits_{i\in I} B_i\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)$
$D\cap \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cap D)$
$D\cup \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} (A_i\cup D)$
$D\setminus \bigcap\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} D\setminus A_i$
$\bigcap\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcap\limits_{k\in K}\bigcap\limits_{j\in J} C_{j,k}$
$\bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę w pewnym sensie ilustrującą dlaczego zapis z rodzinami indeksowanymi jest czytelniejszy. Niech ${\mathfrak A}$ będzie niepustą rodziną zbiorów. Wówczas

$\bigcap(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcap \{\bigcap A : A\in {\mathfrak A}\}.$

[edytuj] Przekrój a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji $f : X\longrightarrow Y$ , dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru X, oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru Y, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

$\bigcap \{f^{-1}[B_j]: j\in J\} = f^{-1}[\bigcap\limits_{j\in J} B_j]$ (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazu);
$f[\bigcap\limits_{i\in I} A_i]\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} f[A_i]$ (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

[edytuj] Zbiór uniwersalny

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru uniwersalnego U, oraz ${\mathcal P}({\mathbf U})$ jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru U, to

$({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\emptyset,{\mathbf U})$

jest ciałem zbiorów a więc algebrą Boole'a (algebra ta jest zupełna). Wówczas U jest elementem neutralnym operacji przekroju.

Jeśli wszystkie rozważania są ograniczone do elementów zbioru U, to można rozważać przekrój pustej rodziny zbiorów. Wówczas $\bigcap\emptyset$ czy też $\bigcap\limits_{i\in \emptyset} A_i$ zawierają te elementy zbioru U które należą do wszystkich zbiorów z $\emptyset=\{A_i:i\in \emptyset\}$ . Zatem

$\bigcap\emptyset=\bigcap\limits_{i\in \emptyset} A_i = {\mathbf U}$ .

Jednak w standardowej teorii mnogości nie mamy zbioru uniwersalnego i musielibyśmy zaakceptować że

$\bigcap\emptyset=\bigcap\limits_{i\in \emptyset} A_i = {\mathbf V}$ jest klasą wszystkich zbiorów.

Nawet w formalizacjach teorii mnogości dopuszczających użycie klas nie byłoby z tego wiele pożytku, bowiem nie można w nich mówić o strukturze $({\mathcal P}({\mathbf V}),\cup,\cap,\setminus,\emptyset,{\mathbf V})$ . Z tego powodu matematycy zastrzegają że rozważamy jedynie przekroje rodzin niepustych i np. Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski^[1] piszą

natomiast zapis $\bigcap\limits_{i\in \emptyset}A_i$ w ogóle nie ma sensu.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory

Przypisy

↑ Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki : wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 33. ISBN 83-01-14415-7.

Belgia