Otoczenie (matematyka)

Otoczenie punktu – w topologii oznacza dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Dokładniej, jeśli x ∈ X, gdzie X jest przestrzenią topologiczną, to zbiór V jest otoczeniem punktu x, gdy istnieje zbiór otwarty U ⊆ V taki, że x ∈ U.

Zauważmy, że tak rozumiane otoczenie nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.

Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.

Jeżeli S jest podzbiorem X, pod pojęciem otoczenia zbioru S rozumiemy zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.

Rodzina wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest bazą otoczeń (punktu).

[edytuj] Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej X z metryką d otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: V jest otoczeniem punktu p jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie p i promieniu r

$B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}$

zawarta w zbiorze V.

Otoczeniem jednostajnym zbioru S w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V o tej własności, że istnieje liczba r > 0 taka, że dla każdego p ∈ S kula otwarta

$B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}$

zawarta jest w zbiorze V. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S.

[edytuj] System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu x zbioru X dana jest pewna rodzina B(x) podzbiorów zbioru X spełniająca poniższe warunki:

dla dowolnego U ∈ B(x), x ∈ U
dla dowolnego U ∈ B(x) istnieje V ∈ B(x) takie, że dla dowolnego y ∈ V, U ∈ B(y),

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze X. Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem x zawiera również pewien zbiór z rodziny B(x).

[edytuj] Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli V jest otoczeniem punktu x, to zbiór V_x = V \ {x} jest sąsiedztwem.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu x jest dowolny przedział otwarty (a,b) zawierający x (czyli taki, że a<x<b). Sąsiedztwem jest wówczas zbiór (a,b)\{x} = (a, x) ∪ (x, b).

Przykładem otoczenia otwartego punktu na płaszczyźnie euklidesowej jest koło bez brzegu o środku w tym punkcie. Odpowiednim sąsiedztwem jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).

Belgia